Eléments d'analyse et d'algèbre (et de la théorie des nombres)

Cet ouvrage est susceptible d'intéresser le bon élève de classe préparatoire, l'étudiant de L3,
ainsi que toute personne ayant atteint ce niveau et cherchant à saisir le fonctionnement interne
des mathématiques.

Cet ouvrage est issu d'un cours en première année à l'École Polytechnique. Il offre une introduction
à trois des théories à la racine des mathématiques et recouvre une bonne partie du cursus
de L3 à l'Université.

Les théories abordées sont :

• la théorie des représentations des groupes finis, qui est à la fois une extension
  naturelle de l'algèbre linéaire et une première approche de la transformée de Fourier,


• l'analyse fonctionnelle classique (espaces de Banach et Hilbert, intégrale de Lebesgue,
  transformée de Fourier),


• la théorie des fonctions holomorphes.

Le cours est complété par un chapitre «Vocabulaire Mathématique» (avec une soixantaine
d'exercices corrigés) qui regroupe et précise des notions de base, vues en L1 et L2 ou pendant
les classes préparatoires, et par 9 problèmes corrigés couvrant l'intégralité du programme.

La principale originalité de l'ouvrage vient de l'accent mis sur l'aspect culturel des mathématiques.
De nombreuses notes de bas de page proposent de petites excursions en dehors de l'autoroute
des mathématiques utiles. Six appendices présentent des extraits de la littérature classique
et moderne, accessibles avec le contenu du cours, qui illustrent l'unité des mathématiques en
montrant comment les théories de base se combinent pour la résolution de problèmes naturels
profonds. L'un d'entre eux est consacré au théorème des nombres premiers , un autre est une
introduction au programme de Langlands, qui occupe les arithméticiens depuis plus de 40 ans,
et dont une des retombées les plus spectaculaires est la démonstration du théorème de Fermat.